在資產定價相關的文獻裡面往往會看到P,Q,M這些東西出現，其實這是屬於測量理論(measure theory)裡面的東西，但是對於資產價格定價其實挺重要的，由於之後可能會寫有關於wu-xia的影子利率的文章，而好死不死她們用的概念是從布萊克的選擇權遠期利率而來，因此真的要完全讀懂wu-xia的影子利率怎麼來的就會需要稍微提到P,Q,M之類的測量理論的東西，這篇雜談就當作一些數學上的雜談。

無風險機率與風險機率

真實的世界上面往往充滿風險，然而身為一個架構模型的人，我們往往希望能夠先從假設這世界是無風險的開始，接著我們慢慢的把風險的函數加進去，而最好的作法其實是我們假設這世界可以從無風險的角度來觀測，同時也能從真實世界的角度來觀測，而所謂的P測度就是我們觀測真實世界機率的側度，而Q測度則是我們觀測無風險機率的側度。

這樣說或許還是很模糊，我們可以用線性代數來說明:讓我們假設X是一連串串帶有風險但是能產生現金的投資，而我們透過某個方程式f來決定X的價格應該是多少，而我們希望f是一個線性方程式，這樣可以讓我們的人生好過一點，因此我假設f(aX+bY)=af(X)+bf(Y)使得這條方程式是線性的。

而我們知道一個商品的價格除了風險以及產生的現金以外，還包含了對於時間的折舊，而我們對於時間的折舊在現實生活上面並非往往是一個常數，有些人很想要立刻擁有一百萬，有些人覺得之後再拿一百萬也沒差，因此我們給予時間折舊函數隨機性，稱其為M。

因此，資產價格

而由於M以及X都是一連串的事件，因此我們可以把這些拆成連續事件來去觀測，也就是說:

，這其實沒什麼，只是把時間拆成不同階段的i以及加入了代表機率的p。

而當我們只專注在，也就是把原本帶有風險的x設定為1，也就是每一期都能穩定拿到一塊錢的現金資產，透過重新排列我們可以得到無風險狀態下的機率。

由於q代表的是無風險的機率，因此他的總和。

無風險機率以及無風險利率

讓我們回到最原本的f(X)=，讓我們把原本帶有風險的f(X)=轉換為固定常數，可以理解為無風險利率的r，因此我們得到無風險利率下的訂價:f(X)=，而這也必定於1，也就是說，。結合上面的，我們可以得到。

重新帶入，我們可以得到，於是我們得到了如何在無風險機率下以及真實事件風險下機率轉換的工具。

根據Radon-Nikodym定理，你可以得到:

,其中代表在無風險觀測中所產生的資產價格。

實際運用

實際運用上面，如果你能在觀測無風險以及帶有風險的真實世界這兩種機率之間去做轉換的話會很好用，而透過這種轉化，你可以做到的不單單只是線性轉化，同時還包刮了仿射轉換(affine transformation)，這對於總體經濟學很好用在於往往我們會使用X裡面可能包含了好幾種總經變數，而我們希望儘管我們觀測到的是真實世界的數據，但是我們可以轉換為基本的無風險機率下去模擬資產或者利率的價格，事實上，wu-xia的影子利率就是大量使用了這種方法，你可以看到完全沒有標示的真實世界數據以及上述提到的隨機時間折舊M還有上面標數了Q的無風險測度。

這東西不清楚的話其實閱讀這方面的文章，尤其是任何談到影子利率的文章，都會有很大的閱讀障礙，但如果上面有關於測度的理論太過複雜也沒關係，只要知道做這種事情其實就是為了要區分真實世界以及一個較為簡單的無風險世界轉換的方法就好。